Материал из Olymp

XXXIII Уральский турнир юных математиков. 21-27 февраля, 2009

C 21 по 27 февраля в г. Кирове проходил традиционный 33 Уральский турнир юных математиков. Несмотря на строго географическое название, в турнире выстпали ученики 6-8 классов всех регионов России, а также школьники из Алматы и Харькова. Наш город представляли три команды, состоявшие из учеников 64 лицея, гимназий 117, 84, 19 и школы 73. Хочтеся выразить самую глубокую признательность администрациям этих учебных заведений за весьма существенную поддержку в организции поездки.

Омские школьники участвуют в ТЮМах уже много лет. Бывали и призовые места, и даже победы. Результаты этого года скромнее. Так, например, команда восьмиклассников поделила 7-8 место с ребятами из Краснодара в высшей лиге турнира, куда они успешно прошли по итогам командной олимпиады. Но и это не так уж плохо, учитывая широкое представительство и высочайший уровень подготовки команд. Победителями в высшей лиги стали ученики 239 лицея Санкт-Петербурга, второе место заняли ученики лицея «Вторая школа» из Москвы, бронзовые призёры — команда физико-математического лицея № 31 г. Челябинска. В личном первенстве диплом 2-й степени получил ученик лицея № 64 Богдан Завьялов, диплом 3-й степени — ученик того же лицея Андрей Нурумов (оба — 8 класс), поощрительные грамоты — шестиклассник из гимназии № 117 Дима Аникеев и восьмиклассник из гимназии 84 Хворых Павел. Хочется пожелать этим ребятам трудолюбия и, как следствие, новых успехов. Поздравляем их учителей и руководителей математических кружков, которые посещают эти ребята.

Матeриалы турнира в самое ближайшее время можно будет найти на официальном сайте турнира. Пока две исключительно красивые, на мой взгляд задачи, предлагавшиеся участникам турнира.

По кругу стоят 16 хамелеонов красного и синего цвета. Каждую минуту все хамелеоны, у которых соседи разного цвета, одновременно от испуга перекрашиваются в другой цвет. Докажите, что когда-нибудь все хамелеоны одновременно вернут себе первоначальный цвет.

Монеты выложены в виде равностороннего треугольника, каждая сторона которого содержит ровно 2009 монет. Первоначально все монеты лежат гербом вверх. Разрешается перевернуть одновременно любые три попарно соприкасающиеся монеты. Удастся ли с помощью таких операций уложить все монеты вверх цифрами? (По секрету: ответ утвердительный)

Более сложная версия той же задачи. Теперь в каждой стороне треугольника n монет. Найдите все значения n, при которых удастся перевернуть все монеты. Это, конечно же, намного более сложно. Если в предыдыущей задаче нужно просто построить алгоритм, то здесь требуется провести небольшое исследование.

Буду рад познакомиться с решениями. Пишите ashtern@yandex.ru

Член жюри 33-го турнира юных математиков, доцент Института математики и информационных технологий ОмГУ  А. С. Штерн.