Материал из Olymp

Любимые задачи А. С. Штерна

Интересные математические задачи с комментариями (Часть 1, весна 2006).

Позвольте представиться. Меня зовут Александр Савельевич Штерн. Я работаю на математическом факультете ОмГУ, а ещё провожу математические олимпиады и решаю задачи со школьниками. Я хочу сделать некоторые из моих любимых задач достоянием не только тех школьников, с которыми регулярно общаюсь, но и других тоже. Задачи будут разные: простые и сложные, популярные и почти никому неизвестные. В некоторых случаях я буду сообщать имена авторов задач и, может быть, что-нибудь о них (авторах) рассказывать. Присылать мне подробные решения не надо (проверить не успею), но поделиться мыслями вполне уместно.

Мой адрес: ashtern@yandex.ru

А вот первая задача для тех, кто только начал изучать стереометрию (10 класс). Простая, но очень красивая.

Докажите, что любая четырёхугольная пирамида имеет сечение в виде параллелограмма.

А это не очень трудная задача по теории графов. Её придумал С. Л. Берлов , математик из Санкт-Петербурга. Несколько лет назад её предлагали на финальном туре всероссийской олимпиады по математике. Эту задачу хорошо решать, прыгая через лужи. Проверено группой учеников школы 117!

В компании из 2n+1 человека для любой группы из n людей найдётся, не входящий в эту группу человек, который их знает. Докажите, что найдётся человек, который знает всех.