Материал из Olymp

Опять любимые

Интересные математические задачи с комментариями А. С. Штерна (Часть 2, осень 2006)

Добрый день. Меня по-прежнему зовут Александр Савельевич Штерн. К сожалению, за полгода, прошедшие с открытия сайта, я ни разу не пополнил свою страничку, в чём каюсь. Пристыженный Сергеем Викторовичем Шмаковым, постараюсь исправиться. Недавно в школе 117 прошла школьная олимпиада. Предлагаю некоторые задачи.

1. (8 класс) На сторонах АС и ВС бумажного треугольника АВС выбраны точки М и N соответственно. После того, как треугольник перегнули по прямой MN, точка С попала в точку D отрезка АВ, причём так, что выполнены равенства АМ=AD и ВN=ВD. Найдите угол С.

2. (8-9 классы)Высоты АК и ВМ треугольника АВС пересекаются в точке Н. Точки Х и Y — середины отрезков АВ и СН соответственно. Докажите, что прямые XY и КМ перпендикулярны.

3. (8 класс) Имеются 6 арбузов и специальные весы, которые могут за одно взвешивание определить общий вес любых трёх арбузов (на весы разрешается класть ровно 3 арбуза). Как за 6 таких взвешиваний найти общий вес всех арбузов?

4. (8-11 классы) У предпринимателя работает 10 человек. Зарплаты у всех различны и выражаются целым числом рублей. Каждый месяц он повышает зарплату по своему выбору девяти из них ровно на один рубль. Сможет ли он уравнять все зарплаты, действуя таким образом много раз?

5. (10 класс) Множество всех вещественных чисел раскрашено в три цвета: синий и красный. Известно, что произведение любых трёх синих чисел синее, а произведение любых трёх красных чисел красное. Докажите, что либо произведение любых двух синих чисел синее, либо произведение любых двух красных чисел красное.

А ещё на математическом факультете ОмГУ проводился осенний этап традиционного математического Турнира городов. Это — замечательная олимпиада, задачи для которой подбирают математики из Московского центра непрерывного математического образования. Первоначальную проверку делают преподаватели и студенты ОмГУ, а лучшие работы отсылаются в Москву, где подвергаются дополнительной проверке. Победители получают дипломы, а самые-самые приглашаются на летнюю конференцию турнира. В прошлом году таковых оказалось двое: ученик лицея 66 Константин Матвеев и ученик школы 117 Никита Кудык. Вот задачи тренировочного (более простого) варианта Turgor_ot2007.pdf.

Рекомендую обратить внимание на задачу 3 варианта для младших. На вид ужасно сложная, она становится совсем простой, если понимать ответ на следующий вопрос.

Какие натуральные числа можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел? (Дать полный и обоснованный ответ)

Подумайте. А чтоб не скучно было думать, вот вам в пару идейно-близкая задача.

Кузнечик прыгает по прямой, делая в секунду один прыжок в любую сторону, в какую захочет. Первый прыжок он делает на 1 сантиметр, второй — на 2 сантиметра, и т.д. последний прыжок с номером n — на n см. При каких n он сможет вернуться в исходную точку (все кузнечики очень умные).

Напоминаю свой адрес ashtern@yandex.ru
Буду рад письму.
А.С.